고등학교 1학년 공통수학에서 다뤄지는 단원별 핵심내용
고등학교 수학이 중학교때와의 차이를 보이는 것은 시험문제 출제방식의 차이일 것입니다. 수학문제 계산과정의 복잡함이 아니라 [1) 그 문제를 읽고 해석하기 좋게 출제되었는가]와 [ 2) 몇 개의 개념이 중복되어 사용된 문제인가] 인가로 그 문제의 난이도를 결정합니다.
보통의 중학교 문제는 극상의 난이도 문제를 제외하면 2~3개의 개념을 이용하여 출제되는 경우가 많습니다. 그리고 그 개념이라는 것도 주로 여러 단원의 융합적 개념이 아닌 해당 단원에서 다뤄지는 내용에 국한되는 경우가 많습니다.
반면 고등학교 문제의 출제방식은 쉬운 기본 문항을 제외하고는 3~5개의 개념을 사용한 것이 일반적이며, 사용된 개념 또한 해당 단원에 국한된 것이 아닌 중학교부터 현재 다루는 단원까지의 모든 내용을 망라하고 있습니다.
쉽게 말해 누적되어 온 수학지식이 없으면 해당단원을 열심히 공부했다 한들 이러한 방식으로 출제된 문제를 해결할 수 없다는 말입니다. 결국 높은 수학점수를 받기 위해서는 문제를 풀기 위한 개념(혹은 공식)을 많이 알아야 하고 거기에 그 개념이 정확히 어떤 상황에서 어떤 방식으로 사용되지도 정확히 알고 있어야 합니다. 그리고 그러한 이해가 바탕이 되어야 비로소 문제가 해석되고 올바른 풀이방법을 찾아낼 수 있습니다.
그럼 고등학교 수학을 공부하는 데 있어서 기본바탕인 공통수학에서 필수적으로 알고 있어야 하는, 고등학교 2~3학년에서도 계속 자주 사용되는 필수 개념을 단원별로 알아보도록 하겠습니다.
● 다항식의 연산
- 곱셈공식 : 공식 암기는 그다지 중요하지 않습니다. 고등수학에서도 중학교 수준의 공식이 90% 이상 사용됩니다.
- 곱셈공식변형 : 공식암기는 필수이며 특별히 입체도형의 겉넓이와 부피에 관련된 문제가 중요합니다.
- 인수분해 : 중학교 인수분해공식만 암기하고 있으면 충분합니다. 고등학교 인수분해는 암기보다는 인수분해의 기본 원리인 공통인수 묶어내는 것과 인수정리를 이용한 고차식의 인수분해를 주로 사용합니다. 이때 사용되는 인수분해 공식은 중학교 때 배운 인수분해 공식이 전부입니다.
- 항등식 : 나머지정리와 인수정리를 이용한 인수분해 및 삼차식을 만드는 방법 등이 중요합니다. 특히 삼차식 만들기는 고2 수 2 과정에서 많이 사용되므로 반드시 숙지하고 있어야 합니다.
● 방정식과 부등식
- 복소수 : 시험엔 복소수의 성질과 거듭제곱 계산 음수의 제곱근에 관한 문제가 주로 출제되며 음수의 제곱근의 성질 외에 딱히 차후에 등장하는 개념은 아닙니다.
- 이차방정식 : 이차함수와 연계된 방정식 실근의 의미를 정확히 이해하고 있어야 하며 특히 판별식과 근과 계수와의 관계는 고등학교 수학과정상의 거의 모든 단원에서 등장하는 아주 중요한 내용이므로 반드시 이해하고 숙지하고 암기해야 하는 개념입니다.
- 이차부등식 : 이차방정식과 마찬가지로 이차함수 그래프를 통한 대소관계 이해와 판별식과 부등식의 관계, 그리고 연립부등식을 이용한 이차방정식의 근의 조건이 2학년 수 1 및 수 2 여러 단원에서 자주 등장합니다.
- 이차함수 : 이차함수 그래프와 이차방정식 이차부등식간의 관계에 대한 이해가 매우 중요합니다. 특히 판별식과 이차함수 그래프와의 관계는 이 후로도 계속 등장하는 아주 중요한 개념이니 꼭 암기하고 있어야 합니다. 그리고 2학년 수학에서 최대와 최소를 묻는 문제가 엄청 등장하는데 그중 절반이상이 이차함수의 최대/최소 개념으로 해결될 만큼 꼭 능숙하게 사용할 수 있을 만큼 알고 있어야 합니다.
● 도형의 방정식
- 점과 좌표 : 두 점사이의 거리, 내분점과 외분점 무게중심에 대한 개념은 반드시 암기를 해야 합니다. 2~3학년 문제에 자주 사용되는 개념이며 실제 2024년 수능에도 사용된 개념입니다.
- 직선의 방정식 : 직선의 방정식을 만드는 법과 점과 직선사이의 거리를 구하는 개념정도는 반드시 암기해야 합니다. 특히 원과 같이 등장하는 직선에 대한 각종 성질은 내신에 단골로 출제되는 유형입니다.
- 원의 방정식 : 원의 정의와 성질, 원과 직선 간의 거리에 관련된 위치관계가 자주 출제되며 원의 접선에 관한 성질과 접점이 주어진 접선, 기울기가 주어진 접선의 방정식은 2, 3학년에서도 종종 등장하는 개념이므로 암기할 필요가 있습니다.
- 도형의 이동 : 평행이동 및 대칭이동은 2학년 수학 수 1, 수 2 모든 단원에서 필수이며 특히 대칭이동에 대한 내용은 수 2를 공부하는 데 있어 필수적으로 알고 있어야 하는 내용입니다. 수 2에서는 3, 4차 함수의 대칭성의 성질을 이용한 문제가 자주 등장하는데 그때 대칭을 표현한 식을 이해하는데 꼭 기본적이고 필수적인 내용이므로 도형의 이동에서 확실히 공부를 해두고 넘어가야 합니다.
● 집합과 명제
- 집합 : 집합의 표현과 집합의 포함관계 그리고 부분집합에 관련된 내용이 주로 출제됩니다. 개념은 어렵지 않으나 심화문제의 경우 여러 단원에 걸친 개념을 묻는 형식으로 출제되어 실제 집합의 개념이 아닌 다른 복합 개념의 이해를 묻는 문제가 많습니다. 2, 3학년 과정에서 크게 사용되는 단원은 아니라고 보입니다.
- 명제 : 참 거짓 판별과 필요충분조건등의 구별을 묻는 기본 개념문항이 주로 출제되며 내신에서 여러 가지 증명방법을 수행평가나 서술형을 통해 확인하는 경우가 있습니다. 이 중 절대부등식의 산술 기하 평균의 관계는 고등학교 3년 내내 거의 모든 단원에서 등장하는 개념이니 반드시 암기해야 합니다.
● 함수
- 함수 : 함수에 대한 개념과 표현방식을 이용한 문제가 출제됩니다. 특히 합성함수와 역함수에 대한 개념은 2, 3학년에서도 모든 함수 단원에 사용될 만큼 필수적이므로 반드시 개념 및 성질을 반드시 이해하고 암기해야 합니다.
- 유리함수 : 점근선에 대한 이해와 그래프에 대한 개념, 그리고 그래프 그리는 방법 등이 중요합니다. 특히 그래프를 그려서 푸는 문제는 수 2과목과 융합되어 자주 등장하므로 유리함수 그래프 그리는 방법은 반드시 숙지해야 합니다.
- 무리함수 : 이차함수의 역함수에 대한 이해와 그래프 그리기, 그리고 직선과의 위치관계가 주로 출제되며 유리함수와 마찬가지로 무리함수의 그래프는 2, 3학년 때 문제 풀 때 자주 등장하므로 꼭 알고 있어야 합니다.
● 경우의 수
- 순열과 조합은 확률과 통계라는 과목과 직접적으로 연계되어 있는 단원입니다. 공식에 대한 이해보다는 문제를 읽고 해석하는 방법과 공식 적용의 이해가 필요합니다. 이웃하는 경우와 이웃하지 않는 경우 "적어도"라는 말이 포함된 경우의 수를 구하는 문제가 주로 다뤄집니다.
마무리
많은 예비고등학생들이 중학교 때처럼 생각했다가 1학기 중간고사 이후 크게 실망하는 경우가 많습니다. 학습량과 능력에 맞지 않는 교재선택에도 문제가 있지만 가장 많이 보아온 경우는 수학 공부를 하는 태도에 문제를 보이는 경우가 많았습니다. 수학공부는 오늘 시험이 끝났다고 다 끝난 것처럼 던져버리고 시험기간에만 교과서나 기출문제집만 달달 풀어서 운 좋으면 풀고 아니면 말고식의 요행을 바라지 않고 꾸준히 하는 것이 중요합니다.
하루하루의 공부가 쌓여서 여러분의 실력이 됩니다.
각 단원에서 필수적인 개념을 단순히 이해하거나 암기만 하는 것이 아니라 이 개념과 공식이 뒤에 다른 개념과 어떻게 융합되어 출제되는지, 이 개념을 통해 무엇을 물어보고자 하는지에 대한 생각을 하면서 공부를 하면 조금 더 효율적인 공부가 되지 않을까 하는 생각에 간략하게나마 정리해 보았습니다.
위에 적은 개념 말고도 중요한 개념이 많으니 하나하나 빠트리지 말고 꼼꼼히 정리해서 성공적인 1학년이 되기를 바라겠습니다.